Wednesday, November 11, 2009

Pemetaan Balik dari Bidang ke Kulit Bola

Pemetaan dari kulit bola ke bidang x-y mengikuti persamaan berikut.

From Aravir (am I Physicist?)


From Aravir (am I Physicist?)

(x,y) adalah koordinat titik di bidang x-y sedangkan (x′,y′,z′) adalah koordinat titik pada permukaan bola (S2). Persamaan di atas memetakan titik (x′, y′, z′) pada permukaan bola ke bidang x-y (R2) di titik (x, y) menggunakan proyeksi stereografis.
Jika kita ingin melakukan sebaliknya; memetakan sebuah titik di R2 ke S2, maka kita harus mendapatkan nilai x′ yang diungkapkan dalam x dan y, hal yang sama berlaku untuk y′ dan z′.
Karena kita sudah memiliki dua persamaan (1, 2) sedangkan kita men- cari 3 variabel yang belum diketahui, maka dibutuhkan satu persamaan lagi. Syukurlah, persamaaan tersebut ada dan muncul dalam bentuk persamaan untuk kulit bola, yaitu

From Aravir (am I Physicist?)


sehingga kita dapat mencari x′, y′ dan z′.
Persamaan 1 dan 2 dapat ditulis ulang sebagai

From Aravir (am I Physicist?)


z′ dapat dicari dengan memasukkan 4 dan 5 ke 3

From Aravir (am I Physicist?)

dengan memasukkan 17 ke 4 dan 5, maka didapatkan

From Aravir (am I Physicist?)


Persamaan 18, 19 dan 17 dapat digunakan untuk memetakan titik-titik diR2 ke S2.
Berikut adalah contoh-contoh kurva di R2 yang dipetakan ke S2.

Fungsi
From Aravir (am I Physicist?)

From Aravir (am I Physicist?)


From Aravir (am I Physicist?)


From Aravir (am I Physicist?)


From Aravir (am I Physicist?)


From Aravir (am I Physicist?)


Fungsi
From Aravir (am I Physicist?)


From Aravir (am I Physicist?)

From Aravir (am I Physicist?)

From Aravir (am I Physicist?)

From Aravir (am I Physicist?)